志二十七 時(shí)憲八
凌犯視差新法上 道光中，欽天監(jiān)秋官正司廷棟所撰，較舊法加密，附著卷末，以備參考。
求用時(shí)
推諸曜之行度，皆以太陽為本；而太陽之實(shí)行，又以平行為根。其推步之法，總以每日子正為始，此言子正者，乃為平子正，即太陽平行之點(diǎn)臨于子正初刻之位也。今之推步時(shí)刻，雖以兩子正之實(shí)行為比例，而所得者亦皆平行所臨之點(diǎn)，則實(shí)行所臨之點(diǎn)，自有進(jìn)退之殊。設(shè)太陽在最卑后實(shí)行大于平行，則太陽所臨之點(diǎn)必在平行之東，以時(shí)刻而言，乃為未及。若太陽過最高后實(shí)行小于平行，則太陽所臨之點(diǎn)必在平行之西，以時(shí)刻而言，乃為已過。故以應(yīng)加之均數(shù)變時(shí)為應(yīng)減之時(shí)差，應(yīng)減之均數(shù)變時(shí)為應(yīng)加之時(shí)差，此因太陽有平行實(shí)行之別，以生均數(shù)時(shí)差也。然太陽所行者黃道，時(shí)刻所據(jù)者赤道，因黃道與赤道斜交，則同升必有差度。如二分后赤道小于黃道，其差應(yīng)減，在時(shí)刻為未及。二至后赤道大于黃道，其差應(yīng)加，在時(shí)刻為已過。故以正弧三角形法求得黃赤升度差，變?yōu)闀r(shí)分，二分后為加，二至后為減，此因經(jīng)度有黃道赤道之分，以生升度時(shí)差也。按本時(shí)之日行自行所生之二差，各加減于平時(shí)而得用時(shí)，由用時(shí)方可以推算他數(shù)，故交食亦必以推用時(shí)為首務(wù)，即日月食之第一求也。其法理圖說已載于考成前編，講解最詳，其圖分而為二，且均數(shù)時(shí)差圖系用小輪。至考成后編求均數(shù)改為橢圓法，其法理亦備悉于求均數(shù)篇內(nèi)，然未言及時(shí)差。今依太陽實(shí)行所臨黃道之點(diǎn)，以均數(shù)之分取得黃道上平行點(diǎn)，即以平實(shí)二點(diǎn)依過二極、二至經(jīng)圈作距等圈法，引于赤道，可使二差合為一圖。其太陽之經(jīng)度所臨之時(shí)刻及二時(shí)差之加減，皆可按圖而稽矣。
如道光十二年壬辰三月初六日癸丑戌正二刻十一分，月與司怪第四星同黃道經(jīng)度，是為凌犯時(shí)刻。本日太陽引數(shù)三宮三度五十五分，太陽黃道經(jīng)度三宮十五度五十三分，求用時(shí)。如圖甲為北極，乙丙丁戊為赤道，乙甲丁為子午圈，乙為子正，丁為午正，己庚辛壬為黃道，丙甲戊為過二極二至經(jīng)圈，己為冬至，辛為夏至，庚為春分，壬為秋分。子為太陽實(shí)行之點(diǎn)，當(dāng)赤道于丑，則丑點(diǎn)即太陽實(shí)臨之用時(shí)。卯為太陽平行之點(diǎn)，而當(dāng)赤道于辰。其卯子之分，即應(yīng)加之均數(shù)一度五十五分四十五秒，試自卯子二點(diǎn)與丙甲戊過極至經(jīng)圈平行作卯午、子未二線，即如距等圈，將太陽平行、實(shí)行之度皆引于赤道，則庚午必與庚卯等，庚未必與庚子等，其赤道之午未亦必與卯子均數(shù)等。變時(shí)得七分四十三秒，為赤道午未之分，即均數(shù)時(shí)差也。次用庚丑子正弧三角形求庚丑弧，此形有丑直角，有庚角黃赤交角二十三度二十九分，有庚子弧太陽距春分后黃道度十五度五十三分。乃以半徑為一率，庚角之馀弦為二率，庚子弧之正切為三率，求得四率為庚丑弧之正切，檢表得庚丑弧十四度三十七分三十六秒，為太陽距春分后赤道度。乃與庚子黃道弧相等之庚未弧相減，得丑未弧一度十五分二十四秒，為應(yīng)減之黃赤升度差。變時(shí)得五分二秒，即升度時(shí)差也。蓋太陽平行卯點(diǎn)，距春分之庚卯弧與庚午弧等，則午點(diǎn)乃為平時(shí)，即今之凌犯時(shí)刻。而太陽實(shí)行子點(diǎn)，距春分之庚子與庚未弧等，則午未為平行與實(shí)行之差。如以太陽右旋而言之，為實(shí)行已過平行，然以隨天左旋而計(jì)之，為實(shí)行未及平行，是未點(diǎn)轉(zhuǎn)早于午點(diǎn)，故必減午未均數(shù)時(shí)差，乃得未點(diǎn)時(shí)刻，此太陽在黃道虛映于赤道之時(shí)刻也。然子點(diǎn)太陽實(shí)當(dāng)赤道之丑，則丑未為黃道與赤道之差。若以經(jīng)度東行而言之，為赤道未及黃道，茲以時(shí)刻西行而計(jì)之，為赤道已過黃道，是丑點(diǎn)復(fù)遲于未點(diǎn)，故必加丑未升度時(shí)差，方得丑點(diǎn)時(shí)刻，即太陽在黃道實(shí)當(dāng)于赤道之時(shí)刻也。其兩時(shí)差既為一加一減，而所減者又大于應(yīng)加之分，故先以兩時(shí)差相減，得丑午時(shí)分二分四十一秒，而為時(shí)差
此因兩時(shí)差加減異號(hào)故相減，若同號(hào)則相加，所謂兩數(shù)通為一數(shù)也。又因減數(shù)大于加數(shù)，故仍從減，若加數(shù)大者則從加矣。 乃減于午點(diǎn)凌犯時(shí)刻戌正二刻十一分，即得丑點(diǎn)戌正二刻八分十九秒，為凌犯用時(shí)也。
一率半徑
二率庚角馀弦
三率庚子弧正切
四率庚丑弧正切
圖形尚無資料
又設(shè)凌犯時(shí)刻丑正一刻，太陽引數(shù)三宮十三度二十九分，黃道實(shí)行三宮二十五度三十四分，求用時(shí)。如子為太陽實(shí)行之點(diǎn)，當(dāng)赤道于丑，其丑點(diǎn)即所臨之用時(shí)。卯為太陽平行之點(diǎn)，當(dāng)赤道于辰，其子卯為應(yīng)加之均數(shù)一度五十二分二十五秒，亦自卯子二點(diǎn)與過極至經(jīng)圈平行作卯丑、子未二距等圈，其平行卯點(diǎn)映于赤道，恰與實(shí)行當(dāng)赤道之丑點(diǎn)合，是由平行所得之時(shí)刻，已合實(shí)行實(shí)臨赤道之用時(shí)，遇此可無庸求其時(shí)差也。然何以知之，蓋兩時(shí)差之?dāng)?shù)相等，必減盡無馀，即無時(shí)差之總數(shù)矣。今試按法求之，既作卯丑、子未二線，其庚丑與庚卯等，庚未與庚子等，則丑未必與卯子均數(shù)等，變時(shí)得七分三十秒，即赤道上應(yīng)減之均數(shù)時(shí)差。次用庚丑子正弧三角形，求得庚丑弧赤道度，與庚子弧黃道度相等之庚未弧相減，得丑未弧，黃赤升度差恰與均數(shù)等。變時(shí)亦得七分三十秒，即赤道上應(yīng)加之升度時(shí)差。其時(shí)差一為加、一為減，而兩數(shù)相等，乃減盡無馀，既無時(shí)差之總數(shù)，則其凌犯時(shí)刻即為用時(shí)可知矣。此法以丑點(diǎn)凌犯時(shí)刻減去均數(shù)時(shí)差，得未點(diǎn)實(shí)行虛映之時(shí)刻，而復(fù)加相等之升度時(shí)差，所得用時(shí)，固仍在丑點(diǎn)之位，蓋因太陽平行距春分后黃道度等于太陽實(shí)行距春分后赤道度故也。又如太陽正當(dāng)本天之最卑或最高，乃無平行實(shí)行之差，自無均數(shù)時(shí)差，止加減升度時(shí)差一數(shù)。設(shè)太陽當(dāng)本天最卑，又當(dāng)子正，如太陽在黃道之子點(diǎn)，則庚乙與庚子等，以庚丑子正弧形求得丑乙黃赤升度差。變時(shí)減于乙點(diǎn)時(shí)刻，即得丑點(diǎn)用時(shí)，乃在乙點(diǎn)子正之前也。若太陽當(dāng)本天最高，又當(dāng)午正，如太陽在黃道之午點(diǎn)，則壬丁與壬午等，以壬寅午正弧形求得寅丁黃赤升度差，變時(shí)減于丁點(diǎn)時(shí)刻，即得寅點(diǎn)用時(shí)，乃在丁點(diǎn)午正之前也。
圖形尚無資料
又如太陽實(shí)行正當(dāng)冬、夏至或正當(dāng)春、秋分，此四點(diǎn)皆無黃道赤道之差，自無升度時(shí)差，止加減均數(shù)時(shí)差一數(shù)。設(shè)太陽實(shí)行六宮初度為正當(dāng)夏至，在黃道之辛點(diǎn)，當(dāng)赤道于戊，而平行卯點(diǎn)，當(dāng)赤道于辰，自卯點(diǎn)與丙甲戊過極至經(jīng)圈平行作卯午距等圈，則午點(diǎn)為凌犯時(shí)刻，其戊午與辛卯均數(shù)等，變時(shí)得均數(shù)時(shí)差。減于午點(diǎn)而得戊點(diǎn)，即用時(shí)也。
圖形尚無資料
求春分距午時(shí)分、黃平象限宮度及限距地高
推算太陰凌犯視差，固依后編求日食三差之法，而其為用不同。蓋日食之東西差為求視距弧，而南北差為求視緯，其視距弧、視緯則為求視相距及視行之用。緣太陰行于白道，是必以白平象限為準(zhǔn)焉。若五星之距恆星、五星之互相距，皆以黃道同經(jīng)度之時(shí)為相距時(shí)刻，而較黃緯南北相距之?dāng)?shù)為其上下之分也。至月距五星、月距恆星，亦皆以黃道經(jīng)度相同之時(shí)為凌犯時(shí)刻，不更問白道經(jīng)度，其于白平象限又何與焉？然其以東西差定視時(shí)之進(jìn)退，以南北差判視緯之大小，以定視距之遠(yuǎn)近者，其差皆黃道經(jīng)緯之差，故必以黃平象限之宮度為準(zhǔn)。黃平象限者，地平上黃道半周適中之點(diǎn)也。顧黃道與赤道斜交，地平上赤道半周適中之點(diǎn)，恆當(dāng)子午圈，而地平上黃道半周適中之點(diǎn)，則時(shí)有更易。蓋黃極由負(fù)黃極圈每日隨天左旋，繞赤極一周，如黃極在赤極之南，則冬至當(dāng)午正，其黃道斜升斜降；若黃極在赤極之北，則夏至當(dāng)午正，其黃道正升正降，而黃平象限亦皆恰當(dāng)子午圈；設(shè)黃極在赤極之西，則春分當(dāng)午正，其黃道之勢(shì)斜倚，出自東北而入西南，黃平象限乃在午正之東；設(shè)黃極在赤極之東，則秋分當(dāng)午正，其黃道出自東南而入西北，黃平象限乃在午正之西。是則黃道之向，隨時(shí)不同，故以黃道之逐度，推求黃平象限及限距地高以立表。
先設(shè)太陽正當(dāng)春分點(diǎn)，黃道實(shí)行為三宮初度，求午正初刻黃平象限宮度及限距地高度分。如圖甲乙丙丁為子午圈，甲為天頂，丙丁為地平，乙為北極，乙丙為京師北極出地，高三十九度五十五分，戊己庚為赤道，交于地平之己點(diǎn)，其戊點(diǎn)當(dāng)午正，為地平上赤道半周適中之點(diǎn)，戊丁為赤道距地高五十度五分，當(dāng)戊己丁角，辛子壬為負(fù)黃極圈，子為黃極，乙子己丑為過極至經(jīng)圈，戊丑庚為黃道，而交地平于寅點(diǎn)，庚為秋分，丑為冬至，戊為春分，即太陽之所在，臨于午正，乃無春分距午之時(shí)分。試自黃極子點(diǎn)出弧線過天頂作子甲卯黃道經(jīng)圈，為本時(shí)黃平象限，其辰點(diǎn)為地平上黃道半周適中之點(diǎn)，而在正午之東，即黃平象限宮度也。辰寅卯角為黃道與地平相交之角，而當(dāng)辰卯弧，即本時(shí)限距地高之度也。法用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有戊甲弧赤道距天頂，
與乙丙北極高度等。 以赤道交子午圈之戊直角九十度內(nèi)減己戊丑角黃赤交角二十三度二十九分，得寅戊丁角六十六度三十一，為黃道交子午圈角；
亦名黃道赤經(jīng)交角。 與辰戊甲角為對(duì)角，其度等。乃以半徑為一率，戊角黃道赤經(jīng)交角之馀弦為二率，戊甲弧赤道距天頂，亦即太陽距天頂其正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得十八度二十六分十四秒，為戊辰弧黃平象限距午正之黃道度。與戊點(diǎn)春分三宮相加，
因黃平象限在午東，故加。 得辰點(diǎn)三宮十八度二十六分十四秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，戊角黃道赤經(jīng)交角之正弦為二率，戊甲弧太陽距天頂之正弦為三率，求得四率，為黃平象限距天頂之正弦，檢表得三十六度三分九秒，為甲辰弧黃平象限距天頂。與甲卯象限九十度相減，得辰卯弧五十三度五十六分五十一秒，即本時(shí)限距地高，而當(dāng)辰寅卯角之度也。
一率半徑
二率戊角馀弦
三率戊甲弧正切
四率戊辰弧正切
一率半徑
二率戊角正弦
三率戊甲弧正弦
四率甲辰弧正弦
圖形尚無資料
又設(shè)太陽正當(dāng)秋分點(diǎn)，黃道實(shí)行為九宮初度，求午正初刻春分距午時(shí)分并黃平象限及限距地高，即以秋分當(dāng)于正午之戊，則庚未戊為黃道，交地平于寅，庚為春分，未為夏至，子乙未己為過極至經(jīng)圈，亦自黃極子點(diǎn)出弧★過天頂，作子甲卯弧黃平象限，而地平上黃道適中之辰點(diǎn)，在正午之西。先以春分距午西之庚戊赤道半周變十二時(shí)為春分距午之時(shí)分，次仍用戊辰甲正弧三角形求戊辰、甲弧二弧，此形有辰直角，有戊甲赤道距天頂。以戊直角內(nèi)減己戊未角黃赤交角，得辰戊甲角黃道赤經(jīng)交角，亦六十六度三十一分，求得戊辰弧黃平象限距午正之黃道度，亦十八度二十六分十四秒。與戊點(diǎn)秋分九宮相減，
因黃平象限在午西，故減。 得辰點(diǎn)八宮十一度三十三分四十六秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度。又求得甲辰弧8888與甲卯象限相減，得辰卯弧，亦為五十三度五十六分五十一秒，即本時(shí)限距地高，而當(dāng)辰寅卯角之度也。
又設(shè)太陽距春分后三十度，黃道實(shí)行為四宮初度，求午正初刻黃平象限諸數(shù)。乃以黃道經(jīng)度四宮初度當(dāng)午正如辛點(diǎn)，即太陽之所在，辛壬癸為黃道，交地平于寅。丑為冬至，壬為春分，乙子丑為過極至經(jīng)圈。仍自黃極子點(diǎn)過天頂甲點(diǎn)作子甲卯弧黃平象限，其黃道適中之辰點(diǎn)，在午正之東。求法先用辛戊壬正弧三角形求壬戊、辛戊二弧及壬辛戊角，此形有戊直角，有壬角黃赤交角，有壬辛太陽距春分后黃道弧三十度。乃以半徑為一率，黃赤交角之馀弦為二率，黃道弧之正切為三率，求得四率，為赤道弧之正切，檢表得二十七度五十四分一十秒，為壬戊弧赤道同升度，亦即本時(shí)春分距午后赤道度。變時(shí)得一時(shí)五十一分三十七秒，即本時(shí)春分距午時(shí)分。又以半徑為一率，黃赤交角之正弦為二率，黃道弧之正弦為三率，求得四率，為黃赤距度之正弦，檢表得十一度二十九分三十三秒，為辛戊弧太陽距赤道北緯度。又以黃道弧之馀弦為一率，黃赤交角之馀切為二率，半徑為三率，求得四率，為黃道交子午圈角之正切，檢表得六十九度二十二分五十一秒，為壬辛戊角黃道交子午圈角，即黃道赤經(jīng)交角。次用辛辰甲正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形有辰直角，有辛角，與壬辛戊角為對(duì)角，其度等。以甲戊弧赤道距天頂內(nèi)減辛戊黃赤距度，得甲辛弧二十八度二十五分二十七秒，為本時(shí)太陽距天頂。乃以半徑為一率，辛角黃道赤經(jīng)交角之馀弦為二率，甲辛弧太陽距天頂之正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得十度四十七分二十八秒，為辛辰弧黃平象限距午正之黃道度。與辛點(diǎn)四宮初度相加，因黃平象限在午東，故加。得辰點(diǎn)四宮十度四十七分二十八秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，辛角黃道赤經(jīng)交角之正弦為二率，甲辛弧太陽距天頂之正弦為三率，求得四率，為黃平象限距天頂之正弦，檢表得二十六度二十七分二十秒，為甲辰弧黃平象限距天頂。與甲卯象限九十度相減，得辰卯弧六十三度三十二分四十秒，為本時(shí)限距地高，即當(dāng)辰寅卯角之度也。
一率半徑
二率壬角馀弦
三率壬角弧正切
四率壬戊弧正切
一率半徑
二率壬角正弦
三率壬辛弧正弦
四率辛戊弧正弦
一率壬辛弧馀弦
二率壬角馀切
三率半徑
四率辛角正切
一率半徑
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半徑
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弦
又設(shè)太陽距秋分前三十度，黃道實(shí)行為八宮初度，求午正初刻黃平象限諸數(shù)。乃以辛點(diǎn)太陽實(shí)行當(dāng)正午，其申點(diǎn)為秋分，而在午東，壬為春分，未為夏至，子乙未為過極至經(jīng)圈，亦自黃極子點(diǎn)過天頂，作子甲卯弧本時(shí)黃平象限，而在午西。法用辛戊申正弧三角形，此形戊為直角，申角為黃赤交角，申辛黃道弧亦為三十度，求得申戊赤道同升度，亦為二十七度五十四分一十秒。乃與壬申赤道之半周相減，得壬戊弧五宮二度五分五十秒，為本時(shí)春分距午后赤道度。變時(shí)得十時(shí)八分二十三秒，即本時(shí)春分距午時(shí)分也。次用辛辰甲正弧三角形，辰為直角，其辛角黃道赤經(jīng)交角及甲辛弧太陽距天頂，皆與前圖之度等。求得辛辰弧黃平象限距午正黃道度，亦為十度四十七分二十八秒。與辛點(diǎn)八宮初度相減，因黃平象限在午西，故減。得辰點(diǎn)七宮十九度十二分三十二秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度。又求得甲辰弧與甲卯象限相減，得辰卯弧，亦為六十三度三十二分四十秒，即本時(shí)限距地高，亦當(dāng)辰寅卯角之度也。
又設(shè)太陽當(dāng)正午實(shí)行距春分前三十度為二宮初度，乃以辛點(diǎn)太陽當(dāng)午正，則春分壬點(diǎn)在午正之東，申為秋分，丑為冬至，乙子丑為過極至經(jīng)圈，其子甲卯本時(shí)黃平象限亦在午正之東。法用辛戊壬正弧三角形，有戊直角，有壬角黃赤交角，有壬辛黃道弧三十度。求得壬戊赤道弧，亦為二十七度五十四分一十秒。乃與赤道全周相減，得十一宮二度五分五十秒，為本時(shí)春分距午后赤道度。變時(shí)得二十二時(shí)八分二十三秒，即本時(shí)春分距午時(shí)分也。又求得辛戊弧亦為十一度二十九分三十三秒，為太陽距赤道南緯度，并求得壬辛戊角亦為六十九度二十二分五十一秒，為本時(shí)黃道赤經(jīng)交角。次用辛辰甲正弧三角形，此形有辰直角，有辛角，以甲戊赤道距天頂與辛戊黃赤距度相加，得甲辛弧太陽距天頂五十一度二十四分三十三秒。乃以半徑為一率，辛角之馀弦為二率，甲辛弧之正切為三率，求得四率，為黃平象限距午之正切，檢表得二十三度四十八分四十秒，即辛辰弧黃平象限距午正之黃道度。與辛點(diǎn)二宮初度相加，得辰點(diǎn)二宮二十三度四十八分四十秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度也。又以半徑為一率，辛角之正弦為二率，甲辛弧之正弦為三率，求得四率，為甲辰弧黃平象限距天頂之正弦，檢馀弦表得四十二度五十九分一秒，即卯辰弧本時(shí)限距地高之度也。
一率半徑
二率辛角馀弦
三率甲辛弧正切
四率辛辰弧正切
一率半徑
二率辛角正弦
三率甲辛弧正弦
四率甲辰弧正弧
又設(shè)太陽當(dāng)午正實(shí)行距秋分后三十度為十宮初度，乃以辛點(diǎn)太陽當(dāng)午正，則申點(diǎn)秋分在午正后，而春分必在午正前，未為夏至，子乙未為過極至經(jīng)圈，其子甲卯本時(shí)黃平象限在午正之西。求法仍用辛戊申正弧三角形，此形邊角之度與前圖之辛戊壬形同，惟申戊弧所變之一時(shí)五十一分三十七秒，乃秋分距午后之時(shí)分，是以加赤道半周之十二時(shí)，得十三時(shí)五十一分三十七秒，始為本時(shí)春分距午時(shí)分也。次用辛辰甲正弧三角形，此形邊與角之度亦與前圖之辛辰甲形同，惟因辰點(diǎn)在辛點(diǎn)之西，是以十宮初度內(nèi)減辛辰弧二十三度四十八分四十秒，得九宮六度十一分二十秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度。其辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，亦與前數(shù)相同也。由此則逐度皆以距春、秋分前后各相對(duì)之度推之，其求午正太陽距天頂之加減，則以緯南、緯北而分。求黃平象限宮度之加減，則以冬至、夏至為斷。蓋冬至過午西，黃平象限恆在午正之東，夏至過午西，黃平象限恆在午正之西，此加減所由定也。
今設(shè)太陽黃道經(jīng)度三宮十六度四十四分，用時(shí)為戌正二刻八分十九秒，求春分距午時(shí)分及黃平象限宮度、限距地平高度。如申辛壬癸為黃道，交地平于寅，壬為春分，丑為夏至，申為秋分，子乙丑亥為過二極二至經(jīng)圈。乃自黃極子點(diǎn)過天頂甲點(diǎn)作子甲卯黃道經(jīng)圈，其黃道適中之辰點(diǎn)，乃在午正之西。今太陽在春分后之未點(diǎn)，當(dāng)赤道之午點(diǎn)，自子正計(jì)之，即用時(shí)之時(shí)刻。先用未午壬正弧三角形求壬午弧，此形午為直角，有壬角黃赤交角二十三度二十九分，有壬未弧太陽距春分后黃道度十六度四十四分，求得壬午弧十五度二十四分五十八秒，為太陽距春分后赤道度。變時(shí)得一小時(shí)一分四十秒，與午點(diǎn)用時(shí)相加，得二十一小時(shí)三十九分五十九秒，為壬點(diǎn)春分距子正后之時(shí)分。內(nèi)減十二時(shí)，得九小時(shí)三十九分五十九秒，即壬戊弧本時(shí)春分距午時(shí)分。次用甲戊辛正弧三角形，因壬戊春分距午后之度已過象限，故用申戊辛正弧形。求辛角及辛戊、辛申二弧。此形戊為直角，有申角黃赤交角，有申戊弧秋分距午前時(shí)分所變之赤道度三十五度零十五秒，求得戊辛弧十三度五十九分四十秒，為本時(shí)正午之黃赤距度。求得申辛戊角七十度五十六分五十八秒，為黃道交子午圈角，即黃道赤經(jīng)交角。與甲辛辰角為對(duì)角，其度等。求得申辛弧三十七度二十一分五十秒，為秋分距午正前黃道度。與申點(diǎn)秋分九宮相減，得七宮二十二度三十八分一十秒，即辛點(diǎn)正午黃道經(jīng)度。次用甲辰辛正弧三角形求辛辰、甲辰二弧，此形辰為直角，有辛角黃道赤經(jīng)交角。以甲戊弧京師赤道距天頂三十九度五十五分，內(nèi)減辛戊正午黃赤距度，得甲辛弧二十五度五十五分二十秒，為本時(shí)正午黃道距天頂度，求得辛辰弧九度零五十三秒，為黃平象限距午西之黃道度。與辛點(diǎn)正午黃道經(jīng)度相減，得辰點(diǎn)七宮十三度三十七分十七秒，即本時(shí)黃平象限之經(jīng)度，并求得甲辰弧二十四度二十四分二十四秒，為黃平象限距天頂之度。與甲卯象限相減，得辰卯弧六十五度三十五分三十六秒，為本時(shí)黃平象限距地平之高度，即當(dāng)辰寅卯角之度也。
求距限差
距限差者，乃月距黃平象限之差度也。蓋舊法月距限以九十度為率，因黃道麗天，其向隨時(shí)不同，而出于地平之上者，恆為半周，其適中之點(diǎn)，距地平東西皆九十度。故以九十度之限，以察月在地平之上下，若月距限逾九十度者，為在地平下，遂不入算，然此以黃道為立算之端也。顧白道與黃道斜交，月行白道，不無距黃道南北之緯度。緯南者早入遲出，月當(dāng)?shù)仄綍r(shí)，其距黃平象限不及九十度；緯北者早出遲入，月當(dāng)?shù)仄綍r(shí)，其距黃平象限已過九十度；是則九十度之率未足為據(jù)也。于是立法以求其差，猶五星伏見距日限度有距日加減差之義也。其法以限距地平之高及月距黃道之緯，依正弧三角形法求之。蓋黃道之勢(shì)，隨天左旋，其升降正斜，時(shí)時(shí)不同。正升正降者，京師限距地高至七十三度馀，高度大，則月緯所當(dāng)之距限差轉(zhuǎn)��；斜升斜降者，京師限距地高只二十六度馀，高度小，則月緯所當(dāng)之距限差轉(zhuǎn)大。若值月緯最大，其差可至十度有奇，此距限差之不可不立也。故依京師黃平象限距地平高度，逐度求其太陰黃道實(shí)緯度所當(dāng)距限差以立表。
設(shè)京師限距地平高度三十四度，太陰距黃道實(shí)緯度南北各五度，求距限差。如圖甲為天頂，乙丙為地平，丁為黃極，甲丁乙丙為黃道經(jīng)圈，戊己庚為黃道，交地平于己點(diǎn)，其戊點(diǎn)即黃平象限。戊丙為限距地高三十四度，與甲丁黃極距天頂之度等，而當(dāng)戊己丙角與乙己庚角為對(duì)角，其度亦等。如月恰在正交或中交，合于黃道之己點(diǎn)，正當(dāng)?shù)仄�，則戊己為月距限九十度，若過九十度，自必在地平之下。今設(shè)月在黃道南五度，則辛壬癸為黃道距等圈，月在地平時(shí)為壬點(diǎn)，當(dāng)于黃道之卯，其戊卯月距限乃不及九十度。又設(shè)月距黃道北五度，則子丑寅為黃道距等圈，月在地平時(shí)為丑點(diǎn)，當(dāng)于黃道之辰，其戊辰月距限乃已過九十度，故必求其差數(shù)以加減之。法用己卯壬正弧三角形求己卯弧，此形有卯直角，有己角，當(dāng)限距地高，有卯壬弧月距黃道緯度。乃以己角之正切為一率，半徑為二率，卯壬弧之正切為三率，求得四率，為距限差度之正弦，檢表得七度四十二分，即己卯弧為所求之距限差，而與己辰弧之度分等，蓋己辰丑正弧三角形與己卯壬形同用己角，而辰丑弧月距黃道緯度，亦與卯壬等是兩正弧形為相等形，故所得之己卯弧必與己辰弧相等無疑矣。既得己卯距限差，與戊己九十度相減，得八十二度十八分，即戊卯距限，而與距等圈辛壬之度相應(yīng)，為月在緯南之地平限度。以己辰距限差與戊己九十度相加，得九十七度四十二分，即戊辰距限，而與距等圈子丑之度相應(yīng)，為月在緯北之地平限度也。
一率己角正切
二率半徑
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
圖形尚無資料
求黃經(jīng)高弧交角及月距天頂
舊法推日食三差，原以黃平象限為本。自考成前編謂三差并生于太陰，而太陰之經(jīng)緯度為白道經(jīng)緯度，用白道較之用黃道為密，故求三差則按月距白平象限之度，以白道高弧交角及太陰高弧為據(jù)。后編變通其法，乃以白經(jīng)高弧交角及日距天頂以求三差，而求白經(jīng)高弧交角，系赤經(jīng)高弧交角加減赤白二經(jīng)交角而得，并不求月距白平象限之度，是法較前頗為省算。今推視差者，乃求其星月黃道同經(jīng)之視距視時(shí)，故三差應(yīng)由黃平象限而定也。是則其法原可仿于后編不求黃平象限而竟求黃經(jīng)高弧交角之術(shù)，即黃道高弧交角之馀度。然非月距黃平象限度與地平限度相較，其月在地平之上下無由可知。故今求交角，乃先求得月距黃平象限之東西、黃平象限去地之高下、太陰距黃極之遠(yuǎn)近，然后按后編用斜弧形求赤經(jīng)高弧交角日距天頂之法，則黃經(jīng)高弧交角及月距天頂之度可得矣。
設(shè)星、月黃道經(jīng)度同為申宮二十六度二十二分十一秒，月距正交前四十三度四十八分五十六秒，黃白交角五度四分一十秒，黃平象限七宮十三度三十七分十七秒，限距地高六十五度三十五分三十六秒，求太陰實(shí)緯黃經(jīng)高弧交角月距天頂。如圖甲為天頂，甲乙丙丁為子午圈，丙丁為地平，乙為北極，戊己庚為赤道，戊為午正，己為酉正，庚為子正，卯為黃極，辛壬癸子為黃道，壬為春分，癸為夏至，午為黃道交地平之點(diǎn)。午未弧為九十度，其未點(diǎn)即黃平象限，宮度為七宮十三度三十七分十七秒。未辰弧當(dāng)午角為六十五度三十五分三十六秒，即限距地高度，而與甲卯黃極距天頂之度等。巳寅丑為白道，寅為正交，寅角為黃白交角五度四分一十秒，申為太陰當(dāng)黃道于酉，申寅為月距正交前白道度四十三度四十八分五十六秒，申酉為月距黃道緯度，其酉點(diǎn)為星月所當(dāng)之黃道經(jīng)度五宮二十六度二十二分十一秒，與未點(diǎn)黃平象限宮度相減，得未酉弧四十七度十五分六秒，為月距黃平象限西之度。乃當(dāng)未卯酉角，甲申戌為高弧，卯申甲角為黃經(jīng)高弧交角，甲申為月距天頂。求法，先用寅酉申正弧三角形，此形酉為直角，有寅角黃白交角，有寅申弧月距正交前白道度，求得申酉弧三度三十分二十七秒，即太陰距黃道南實(shí)緯度。與卯酉象限相加，得卯申弧九十三度三十分二十七秒，為月距黃極。次用甲卯申斜弧三角形，此形有甲卯邊黃極距天頂，有申卯邊月距黃極，有申卯甲角當(dāng)酉未弧月距限度為所夾之角，求申角及甲申邊。乃自天頂作甲亥垂弧，分為甲亥卯、甲亥申兩正弧三角形。先用甲亥卯正弧三角形，此形亥為直角，有卯角，有甲卯邊，求得卯亥弧五十六度十四分十五秒，為距極分邊。與申卯弧月距黃極相減，得申亥弧三十七度十六分十二秒，為距月分邊。次用甲亥申正弧三角形，此形亥為直角，有申亥邊，兼甲亥卯正弧三角形之亥卯邊及卯角。用合率比例法，求得申角五十六度二分五十一秒，即黃經(jīng)高弧交角。仍以甲卯申斜弧形，用對(duì)邊對(duì)角法，求得甲申弧五十三度四十三分二十四秒，即月距天頂之度也。
圖形尚無資料
求太陰距星及凌犯視時(shí)
太陰距地平上之高弧，自地心立算者為實(shí)高，在地面所見者為視高，其相差之分，即地半徑差也。月當(dāng)?shù)仄綍r(shí)，距天頂為九十度，其相差之?dāng)?shù)最大，而角之正弦即當(dāng)?shù)刂霃�。迨月上升，則距地漸高，距地愈高，則差數(shù)愈小，其所差之分，皆與本時(shí)月距天頂之正弦相應(yīng)，故用比例法而得本時(shí)高下差也。夫高下既差，則有視經(jīng)、視緯之別。其視經(jīng)、實(shí)經(jīng)之差者，東西差也；視緯、實(shí)緯之差者，南北差也。今求三差，乃依后編日食求三差法用直線三角形算之。然后編三差圖乃寫渾于平，今則用以渾測(cè)渾之圖，求其三差，其所得之南北差，與本時(shí)太陰實(shí)緯之度相較，而得視緯。得以視緯與星緯相較，觀其緯之南北而定相距之上下也。其所得之東西差，與一小時(shí)之太陰實(shí)行為比例，而得用時(shí)距視時(shí)之距分。辨其月距限之東西加減凌犯用時(shí)，而得凌犯之視時(shí)也。
前求得道光十二年壬辰三月初六日癸丑，月距司怪第四星凌犯用時(shí)戌正二刻八分十九秒，黃經(jīng)高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天頂五十三度四十三分二十四秒，本日太陰最大地半徑差六十分七秒，太陰黃道實(shí)緯度南三度三十分二十七秒，司怪第四星黃道緯度南三度十一分四十四秒，一小時(shí)太陰實(shí)行三十六分三十三秒，求星月相距分秒凌犯視時(shí)。如圖甲為天頂，甲未辰巳為黃道經(jīng)圈，辰午巳為地平，卯為黃極，未午辛為黃道，未點(diǎn)即黃平象限宮度，未辰弧即限距地高，與卯甲黃極距天頂之度等。申點(diǎn)為太陰，子點(diǎn)為司怪第四星，同當(dāng)黃道于酉。其酉點(diǎn)即月與星之黃道經(jīng)度，酉未弧即月距限西之度，子酉為星距黃道南緯度三度十一分四十四秒，申酉為太陰距黃道南實(shí)緯度三度三十分二十七秒，申卯弧即月距黃極，甲申戌為高弧，申甲為月距天頂度五十三度四十三分二十四秒，卯申甲角為黃經(jīng)高弧交角五十六度二分五十一秒，而與戌申亥角為對(duì)角，其度等。此皆自地心立算之實(shí)度也。然人居地面高于地心，故視高常低于實(shí)高，而月當(dāng)?shù)仄綍r(shí)，其地半徑差為最大，今乃六十分七秒。于是依后編求本時(shí)高下差之法，以半徑與甲申弧正弦之比同于最大地半徑差與本時(shí)高下差之比，得本時(shí)高下差四十八分二十八秒。如申火之分，其火點(diǎn)即太陰之視高，自火點(diǎn)與黃道平行，作火木線，遂成申木火直角三角形。因弧度甚小，乃作直線算，與后編求日食三差之理同。此形木為直角，有申角黃經(jīng)高弧交角，有申火邊本時(shí)高下差，求得木火邊四十分十二秒為東西差，求得申木邊二十七分四秒為南北差，加于申酉太陰實(shí)緯，得木酉太陰視緯三度五十七分三十一秒。內(nèi)減子酉星緯，得子木弧四十五分四十七秒，為人目仰視太陰距司怪第四星月在星下之分也。夫星、月同當(dāng)酉點(diǎn)之經(jīng)度，固為相距。今太陰視高在火，其視緯雖差至木，而距星之子點(diǎn)尚在一度內(nèi)，其火點(diǎn)當(dāng)黃道之視經(jīng)度則差至土，是用時(shí)時(shí)星經(jīng)度雖在酉，而太陰視經(jīng)度之土點(diǎn)乃在其西，是為未及。然土酉之分與火木等，故以一小時(shí)太陰實(shí)行與火木東西差為比例，得距分一時(shí)六分，為月行火木之時(shí)分。加于月視高臨火點(diǎn)之用時(shí)，得亥初二刻十四分十九秒，即人目視太陰臨于木點(diǎn)與星，同當(dāng)酉點(diǎn)經(jīng)度之視時(shí)也。
圖形尚無資料
求視時(shí)月距限
視時(shí)月距限，必大于用時(shí)月距限，因其視經(jīng)差所當(dāng)之距分既有加減，則太陰與星隨天西移自有進(jìn)退也。蓋太陰以地半徑差由高而變下，則視經(jīng)之差于實(shí)經(jīng)、視緯之差于實(shí)緯必矣。茲據(jù)黃平象限在天頂南之地面而言之，視緯恆差而南，如實(shí)緯北者，視緯常小于實(shí)緯，其差為減；實(shí)緯南者，視緯常大于實(shí)緯，其差為加。故緯南之星、月實(shí)距雖在一度內(nèi)，而視距轉(zhuǎn)在一度外者有之；緯北之星、月實(shí)距雖在一度外，而視距轉(zhuǎn)在一度內(nèi)者有之。南北相距一度外者不入凌犯之限，故不取用。至若視經(jīng)之差，所當(dāng)月行距分之最大者或至二小時(shí)，而二小時(shí)之際，諸曜隨天左旋，幾至一宮，故視經(jīng)之差，關(guān)于月行之進(jìn)退矣。如月在黃平象限西者，視經(jīng)度差之而西，視時(shí)必遲于用時(shí)；月在黃平象限東者，視經(jīng)度差之而東，視時(shí)必早于用時(shí)。以致用時(shí)星、月未入地平，而視時(shí)星、月已入地平者有之，或用時(shí)星、月已出地平，而視時(shí)星、月未出地平者有之。是故于求用時(shí)之后，即以月距黃平象限與地平限度相較，可知斯時(shí)月在地平之上下。月距限小于地平限度者，為月在地平上；大于地平限度者，為月在地平下。如遇月距限微小于地平限度者，用時(shí)星、月必在地平上，視時(shí)星、月或在地平下，其所差者，即視經(jīng)之差當(dāng)月行距分之諸曜左旋度。今取最小實(shí)經(jīng)、視經(jīng)之差所當(dāng)左旋之度為視經(jīng)差，法見下卷求地平限度節(jié)下。減于地平限度，所得視地平限度，而與月距限度考之。如月距限小于地平限度而大于視地平限度者，則為用時(shí)月雖在地平上，視時(shí)月必在地平下矣；既知月必在地平下，故遇此者去之。如月距限小于視地平限度者，則為視時(shí)月在地平之上。夫猶有不然者，以視經(jīng)差所取皆最小之?dāng)?shù)也。若知月行實(shí)跡非由視時(shí)，再推月距限度，則其時(shí)月果在地平之上下，未可得其確準(zhǔn)。故今于既得視時(shí)之后，必詳察太陰實(shí)緯及用時(shí)月距限度。如實(shí)緯南月距限過六十度，或?qū)嵕暠痹戮嘞捱^七十度者，用時(shí)月距限在此限度內(nèi)者，視時(shí)月必在地平之上。皆以視時(shí)復(fù)求月距黃平象限之度。如其度大于地平限度者，乃視時(shí)月在地平之下，仍不取用。必其度小于地平限度，始為視時(shí)月必在地平之上，而可證諸實(shí)測(cè)。此視差之所以必逐細(xì)詳推，然后可得而取用也。